1 微积分解析解

1.1 单变量函数的极限

求解析解：要先将变量符号化；

syms x y a b 

x0处的极限

格式1： L= limit( fun, x, x0)

x0处左右极限

格式2： L= limit( fun, x, x0, ‘left’ 或 ‘right’)

无穷处

L=limit(fun,x,inf) 

1.2 多变量函数的极限

格式： L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0)
或  L1=limit(limit(f,y,y0), x,x0)

函数的导数和高阶导数

格式： y=diff(fun,x)       %求导数
            y= diff(fun,x,n)       %求n阶导数

多元函数的偏导：

格式：  f=diff(diff(f,x,m),y,n)
 或   f=diff(diff(f,y,n),x,m)

简化，化简函数

simplify(fun)

美化函数

pretty(fun)

隐函数的偏导数：

格式：F= - diff(f,xj)/diff(f,xi)

不定积分：

格式： F=int(fun,x)

定积分与无穷积分计算:

格式：  I=int(f,x,a,b)
格式： I=int(f,x,a,inf)

例题，多重积分解析解，matlab求解

syms x y z

int(int(int(4xzexp(-x^2*y-z2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi)
ans =
-(exp(-pi^2) - 1)(eulergamma + log(pi) - ei(-pi))
Ei(n,z)为指数积分，无解析解，但可求其数值解：

vpa(ans,60)
ans =
1.73276222303122046279036924954865797833228791294854004417627

2 级数

2.1 Taylor泰勒 幂级数展开

taylor(f,x,a,'order',k) %x =a ,处的前k项展开

多变量函数的Taylor幂级数展开

taylor(f,[x,y],[0,0],'order',8) 

2.2 Fourier傅里叶级数展开

[A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)

2.3 级数求和

S = symsum(fk, k, k0, kn)

3 数值微分

回顾一下导数：

matlab实现，中心差分方法

调用格式：[dy,dx]=diff_ctr(y, 德尔塔t, n)

y为 等距实测数据， dy为得出的导数向量， dx为相应的自变量向量，dy、dx的数据比y短 。

用插值、拟合多项式的求导数

          d=polyfit(x-a,y,length(xd)-1) 

二元函数的梯度计算


例题：计算 z=(x. ^2-2*x). *exp(-x.^2-y.2-x.*y) 梯度，绘制引力线图：

解：z矩阵是建立在等间距的形式生成的网格基础上,将x ,y 网格化

[x,y]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2	

[fx,fy]=gradient(z); 
fx=fx/0.2; fy=fy/0.2;
contour(x,y,z,30); 
hold on;
quiver(x,y,fx,fy)

4 数值积分

4.1 梯形法：

将x的积分区间划成步长为h的n个等分
随着步距h的减小，计算精度逐渐增加

trapz(x,y) %梯形积分法函数

4.2 单变量数值积分

y=quad(Fun,a,b)    y=quadl(Fun,a,b) % 求定积分

4.3 integral 数值积分

q = integral(fun,xmin,xmax)
q = integral(fun,xmin,xmax,Name,Value)

4.4 quadgk()函数（自适应高斯-勒让德积分法）

[q,errbnd] = quadgk(fun,a,b,param1,val1,param2,val2,...)

4.5 双重积分的数值解

y=dblquad(Fun,xmin,xMax,ymin,yMax)

对x是不可积的，故调用解析解方法不会得出结果，而数值解求解不受此影响。

4.6 三重定积分的数值求解

I=triplequad(Fun,xm,xM,ym,yM, zm,zM， 精度值   ,@quadl)